Problemario 4. Global Análisis Numérico

 Realiza todo lo solicitado por métodos numéricos, lo mejor posible a un resultado real y analizar los resultados obtenidos.

 

Se analizó una topología nueva para su posible implementación (Fig. 1), se descubrió que dicha topología presentaba ciertas discrepancias.

Fig. 1. Topología propuesta.

 

1.        Dicha topología se ha analizado y se ha deducido que las pérdidas de conducción en los interruptores se pueden llegar a predecir con la siguiente ecuación diferencial.

dP =

dt

(t5  - 32)7

(P3  - 3)2

 

Se implementó y se midió su potencia a los 2 segundos dando una potencia de 6W.

a)        Se quiere saber qué pasaría a los 5, 8 y 10 segundos con su potencia.

b)        Se desea calcular la potencia dispersada total en el circuito, entre 2.5 y 4 segundos, para ello es importante recordar que se puede calcular por medio de la integral de la función de Potencia respecto al tiempo.

 

 

2.        Al mismo circuito se midieron las corrientes y voltajes de dos elementos y se descubrió que se comportaban de la siguiente manera en instantes de tiempo específicos.

-2V1 + 4i1 + 2V2 + 7i2 = 1 5V1+ 8i1 - 5V2 + 2i2 = 5

9V1 - 2i1 + 3V2 + 3i2  = 6

-3V1 + 2i1  + 8V2 + i2  = 7

Es importante calcular cual sería el voltaje y corriente en el cual ambos están en equilibrio.

EJERCICIO 1.

 

 

dP = (t  - 32)

5                7

dt      (P3  - 3)2

P(2) = 6

 

Aplicando el Método de Euler Mejorado para obtener los resultados en la tabla y gráfica, como se muestra a continuación.

 

En el inciso a) debemos de conocer en determinados tiempos que pasaría con su potencia. Nos dan valores y ya tenemos visualizada la gráfica. Pero necesitamos la función f(x) para saber la potencia de los distintos tiempos, para ello aplicamos otro método numérico que es la regresión exponencial, ya que la gráfica se aproxima a una exponencial por lo tanto aplicamos el método de regresión a los primeros 6 valores obtenidos de t y P, como se muestra a continuación.

Aplicamos el método de regresión para la tabla.

Al aplicar el método obtenemos la Función f(x) como se muestra en la imagen anterior.

 

La función obtenida la graficamos en geogebra para visualizar mejor la función. Ahora para resolver el inciso a) solamente sustituimos cada tiempo en x para obtener el resultado de la potencia en cada cambio de segundos. Los resultados nos quedan como se muestra a continuación.

f (5) = 5.9652184e0.0028885(5) = 6.05199w f (8) = 5.9652184e0.0028885(8) = 6.10466w f (10) = 5.9652184e0.0028885(10) = 6.140036w

a)

 

B)  Ahora para calcular y obtener la potencia dispersada total es necesario integrar la unción anterior con los datos que ya nos dan de los tiempos determinados. Es necesario que la función al momento de integrarla, no otorgue la potencia total dispersada respecto del tiempo dado. Como se muestra a continuación.

Una integral definida por los intervalos del tiempo [2.5, 4]

 

4

ò2.5

(5.9652184e0.0028885t )dt

 

Al aplicar métodos y soluciones del cálculo integral, la solución de la integral nos dice que la Potencia total dispersada entre los intervalos de tiempo es igual a:

PTotalDisp

= 9.032222w

 

 

 

 

EJERCICIO 2.

SOLUCION: Para obtener los valores de los voltajes y corrientes, aplicamos métodos numéricos, en este caso aplicamos el método de JACOBI para resolver los sistemas de ecuaciones. Como se muestra a continuación las soluciones.

Y las soluciones son: