Práctica #7, Sistemas de Ecuaciones Lineales.

 

Práctica #7, Sistemas de Ecuaciones Lineales.

 

Resumen—En este artículo se explorará la introducción,  el desarrollo de la realización de la práctica 7 en donde se explorara los diferentes comandos que tiene el software a utilizar Excel, además se desarrollaran los conocimientos básicos de la computadora y la utilización de las matemáticas básicas y el álgebra así como los cálculos previamente indicados en esta séptima práctica y reforzando nuestros conocimientos en el software de Excel; además del análisis de los distintos métodos para resolver los sistemas de ecuaciones lineales como son Gauss, Gauss-Jordan, Jacobi y Gauss- Seidel, que son los que particularmente se usan y los que estamos usando para la resolución de esta práctica.

 

Palabras clave—Excel, Práctica 7, software, comandos, computadoras, Mathcad.

 

 

INTRODUCCIÓN

Los comandos en Excel pueden tener muchas características útiles para la mejor comprensión para

una idea mejor al momento de la realización de una o varias tareas prácticas; unas de las mejores que nos servirían mucho para esta segunda práctica son [1]:

·         Realizan acciones del mismo modo que los usuarios.

·         Pueden hacer lo que haga un usuario, como modificar la configuración de Excel, abrir, cerrar y editar documentos, iniciar actualizaciones, etc.

·         Pueden mostrar cuadros de diálogo e interactuar con el usuario.

·         Se pueden vincular para controlar los objetos de modo que se les llame al realizar alguna acción en ese objeto, como al hacer clic.

 

Además de analizar los comandos, necesitamos realizar un pequeño aporte de investigación para los tipos de métodos de solución de los sistemas de ecuaciones que usaremos en esta práctica.

El método de Gauss-Jordan es un algoritmo del álgebra lineal que se usa para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, para encontrar matrices e inversas [2].

Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que

cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal [3].

El método de Jacobi es un método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales más simple y se aplica sólo a sistemas cuadrados, es decir, a sistemas con tantas incógnitas como ecuaciones.

Y el método de Gauss-Seidel es muy semejante al método de Jacobi. Mientras que en el de Jacobi se utiliza el valor de las incógnitas para determinar una nueva aproximación, en el de Gauss-Seidel se va utilizando los valores de las incógnitas recién calculados en la misma iteración, y no en la siguiente [4].

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II.     DESARROLLO DE LA PRÁCTICA 7

 

Para el desarrollo de la práctica se necesitan varias cosas; las principales son: la descripción de la práctica, es decir, en que consiste la práctica, los materiales a usar y finalmente el desarrollo de dicha práctica.

 

1.2.1  DESCRIPCION DE LA PRÁCTICA

 

Una breve descripción de la práctica es que el alumno conocerá nuevos métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales los cuales facilitaran en gran medida la solución de dichos sistemas, así como ahorrar mucho tiempo para resolverlos.

El alumno podrá resolver sistemas de NxN de gran tamaño. .

 

1.2.2  MATERIALES A USAR

 

·         Computadora

·         Software (Microsoft Excel)

·         Libro

·         Software Mathcad

·         Proyector

 

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1.2.3  REALIZACIÓN DE LA PRÁCTICA

 

Principalmente para el desarrollo de la práctica se necesitan el software de Excel, lo abrimos creamos una hoja para trabajar con el sistema de ecuaciones de 3x3 como se muestra en la Fig. 1.

 

Fig. 1. Sistemas de ecuaciones de 3x3 a resolver.

 

Ahora hay que resolver el sistema de ecuaciones por cualquier método clásico que ya debemos de conocer y debemos de dominar. En este caso yo lo resolví por el método de suma y resta para que nos diera un resultado mejor y además resultara con un método más fáciles comprender y analizar, como se muestra en la Fig. 2, para la obtención de dichos resultados se usó el software de MathType.

 

Fig. 2. Método de suma y resta usado para resolver el sistema de ecuaciones de 3x3.

 

Paso 2. Una vez desarrollado el método clásico para el sistema de ecuaciones y sabiendo los resultados obtenidos, podemos aplicar los métodos para resolver los sistemas de ecuaciones matriciales, primeramente empezamos con el método de Gauss y gauss-jordan.

Con estos primeros métodos muy parecidos obtendremos los posibles resultados de las incógnitas y aplicando los comandos de Excel para obtener los datos, estos métodos se rigen por matrices por lo tanto aplicaremos el sistema de ecuaciones de la Fig. 1 en matrices, como se observa en la Fig. 3.

Fig. 3. Estructura de una matriz para el sistema de ecuaciones de 3x3.

 

Una vez obtenida la matriz la calculamos primeramente por el método de Gauss. Como se muestra en la Fig. 4.

Fig. 4. Aplicando el método de gauss en el sistema de ecuaciones de 3x3.

 

Nuevamente aplicamos el mismo sistema pero ahora usando el método de Gauss-Jordan para igualmente la misma obtención de los valores resultantes de las incógnitas que no conocemos. Como se muestra en la Fig. 5.

 

 

 

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Fig. 5. Método aplicado de gauss-jordan para el sistema de ecuaciones.

 

Paso 3. Una vez que obtuvimos los valores exactamente iguales y además aplicados los dos métodos de gauss y gauss-jordan, podemos ahora aplicar los dos métodos faltantes que son Jacobi y Gauss-Seidel que además son casi exactamente iguales, por eso en estas secciones se dividen en 2 métodos cada uno.

Entonces, primero aplicamos el método de jacobi, consiste en algunos pasos que debemos seguir.

Primeramente ya conocemos el sistema de ecuaciones, al mismo sistema de ecuaciones lo acomodaremos las ecuaciones de menor valor al máximo valor dependiendo de los valores de “x”, “y” y “z”, como se muestra en la Fig. 6.

 

10x + 5 y - 2z = 5 

2x - 8 y + 5z = 3 

5x + 3y - 8z = 1

Fig. 6. Sistema de ecuaciones de 3x3 acomodado de menor valor a

máximo valor.

 

Ahora una vez acomodados, hay que despejar la variable de cada una de las ecuaciones para la resolución del método, como se muestra en la Fig. 7.

Fig. 7. Sistemas de ecuaciones despejados para la aplicación del método jacobi.

 

Una vez ya hecho los pasos podemos resolver el sistema de ecuaciones aplicando el método de jacobi y aplicando los comandos de Excel clásicos para los sistemas de ecuaciones. Como se observa en la Fig. 8.

Fig. 8. Método de jacobi para resolver el sistema de ecuaciones.

 

Ahora aplicaremos el método de gauss-seidel para resolver el sistema de ecuaciones.

Es el mismo procedimiento que el método de jacobi para realizar el sistema de ecuaciones, sin embargo, en el método de jacobi al inicio les dábamos un valor  nosotros mismos, en este método solo de daremos el valor a X y Y y a Z lo calcularemos usando el despeje de la ecuación ya usada anteriormente para obtener a Z. como se observa en la Fig. 9.

 

 

 

 

 

 

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Fig. 10. Sistema de ecuaciones de 4x4.

 

Entonces para empezar, primeramente aplicamos los dos métodos que son los de gauss y gauss-jordan para resolver el sistema. Como se observa en la Fig. 11 el sistema de ecuaciones resuelto por el método de gauss.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fig. 9. Sistemas de ecuaciones resueltas por el método de gauss- seidel.

 

Entonces, una vez obtenidos los datos y aplicados todos los métodos en la practica 7 podemos hacer un análisis de cada uno y aplicar las respuestas obtenidas las podemos agrupar en una tabla. Como se muestra en la tabla 1, se observan los valores obtenidos desde el clásico hasta el método de gauss- seidel.

 

x y Z Clásico 0.590381 -0.097844 0.2072668 Gauss 0.590381 -0.097844 0.2072668 Gauss- jordan 0.590381 -0.097844 0.2072668 Jacobi 0.590381 -0.097844 0.2072668 Gauss- seidel 0.590381 -0.097844 0.2072668

Tabla 1. Resultados obtenidos.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Paso 4. Realizaremos los pasos anteriores cuando aplicamos todos los métodos, pero esta vez los aplicaremos a un sistema de ecuaciones de 4x4 para resolver y saber si se puede analizar aún mejor los sistemas de ecuaciones. El sistema de ecuaciones de 4x4, como se observa en la Fig. 10, es el que vamos a realizar.

Fig. 11. Sistema de ecuaciones resuelto por el método de gauss.

 

Ahora resuelto el sistema de ecuaciones con el método de gauss-jordan, como se muestra en la Fig. 12.

 

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Fig. 12. Método de gauss-jordan para resolver el sistema de ecuaciones.

 

Ahora aplicando los dos métodos que son el de jacobi y gauss-seidel para la resolución del sistema de ecuaciones de 4x4.

Empezamos primeramente por el método de jacobi, como ya hemos visto anteriormente los pasos del método, los podemos representar por sus respectivas formulas acomodadas y despejadas para la resolución del método. Como se muestra en la Fig. 13.

Fig. 13. Formulas respectivamente acomodadas para la resolución del método de jacobi.

 

Ahora que ya tenemos las ecuaciones acomodadas y despejadas, simplemente aplicamos comandos de Excel para la obtención de los valores esperados. Como se muestra en la Fig. 14.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fig. 14. Método usado jacobi para el sistema de ecuaciones de 4x4.

 

Una vez calculado los valores obtenidos con el método de jacobi, podemos usar el método de gauss-seidel, porque son casi el mismo procedimiento, por lo tanto podemos usar los pasos anteriores del método de jacobi. Como se muestra en la Fig. 15.

Fig. 15. Sistema de ecuaciones resuelto por el método de gauss- seidel.

 

 

 

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Entonces, una vez obtenidos los datos y aplicados todos los métodos en la practica 7 podemos hacer un análisis de cada uno y aplicar las respuestas obtenidas las podemos agrupar en una tabla. Como se muestra en la tabla 2, se observan los valores obtenidos desde el clásico hasta el método de gauss- seidel.

 

Tabla 2. Resultados obtenidos.

	X1	X2	X3	X4
Clásic o	0.6186027 62	0.730706 74	0.151502 84	1.57432 98
Gauss	0.6186027 62	0.730706 74	0.151502 84	1.57432 98
Gauss	0.6186027	0.730706	0.151502	1.57432
-	62	74	84	98
jorda
n
Jacob	0.6186027	0.730706	0.151502	1.57432
i	62	74	84	98
Gauss	0.6186027	0.730706	0.151502	1.57432
-seidel	62	74	84	98

 

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

 

Ahora para la actividad complementaria, la implementaremos usando un sistema de ecuaciones de 5x5 aplicándolo y resolviendo solamente usando los métodos numéricos de jacobi y gauss-seidel.

El sistema de ecuaciones a resolver se muestra en la Fig. 16. Esto con la finalidad si se puede resolver usando los dos métodos propuestos para obtener el valor de cada incógnita.

Fig. 16. Sistema de ecuaciones de 5x5 propuesto.

 

Ahora el siguiente paso es que debemos de despejar las formulas dependiendo de la variable acomodada. Como se observa en la Fig. 17. Respectivamente las formulas despejadas de cada variable del sistema de ecuaciones para empezar a trabajar los dos métodos de jacobi y gauss-seidel.

Fig. 17. Ecuaciones despejadas del sistema de ecuaciones.

 

Entonces aplicando solamente comandos de Excel que ya conocemos podemos calcular las variables que desconocemos, aplicando primeramente el método de jacobi, como se observa en la Fig. 18.

Fig. 18. Sistema de ecuaciones resuelto por el método de jacobi.

 

Se observa en la Fig. 18 que a pesar de que el método jacobi si nos lanza un valor, pero aun no llega a los valores esperados, por lo tanto por este método no se puede resolver.

 

Ahora aplicando el método de gauss-seidel para el sistema de ecuaciones de 5x5 para asegurarnos si da los resultados esperados o no, como se observa en la Fig. 19.

 

 

 

 

 

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[2]. Wikipedia. “Eliminación gauss-jordan”. Internet: https://es.wikipedia.org/wiki/Eliminaci%C3%B3n_ de_Gauss-Jordan Junio, 01 2019 [Marzo. 18, 2020].

 

 

[3].  slideshare.       “Gauss      y      gauss-jordan”.                       Internet: https://es.slideshare.net/AndrioMendoza/metodo- gauss-y-gauss-jordan Abril 2, 2018 [Marzo. 18, 2020].

 

 

[4]. Métodos Numéricos. “Método de Jacobi y Método de Gauss-Seidel”.                                                                              Internet:

https://jorgeyfloreth.wordpress.com/2017/03/14/m etodo-de-jacobi-y-metodo-de-gauss-seidel/                                                                                   Abril 4, 2017 [Marzo. 18, 2020].

 

 

 

 

 

 

Fig. 19. Sistema de ecuaciones resuelto por el método de gauss- seidel.

 

A pesar de que con el método de jacobi no nos da los resultados porcentajes, en el método de gauss-seidel nos dio los resultados esperados, llegando hasta el renglón 65 para confirmar los resultados; pero sin embargo con el método  de jacobi es posible que mientras más avancemos entre los renglones, más nos acerquemos al posible resultado esperado.

 

III.    CONCLUSIONES

En esta práctica Comprendimos diferentes comandos referentes a matemáticas, para la utilización de los métodos para la resolución de los sistemas de ecuaciones de distintas matrices nxn, pero a pesar de que algunos no son tan complicados como lo pueden ser el método de gauss o gauss-jordan; pero cuando calculamos matrices de más valores se complican aún más la resolución de los sistemas de ecuaciones porque mientras más aumentan las matrices más procedimiento hay que realizar para la obtención de las variables desconocidas que son las que debemos de calcular con cada método.

Finalmente las respuestas y los valores de cada variable, están representadas en cada una de las tablas 1 y 2 para mejor vista y así que se representan que si están bien los procedentes hechos en esta práctica.

 

IV.     REFERENCIAS

 

[1]. Microsoft Office. “Information general Excel Office”. Internet:                                             https://support.office.com/es- es/article/informaci%C3%B3n-general-sobre- f%C3%B3rmulas-en-excel-ecfdc708-9162-49e8-b993- c311f47ca173 Oct, 17 2013 [Feb. 19, 2020].

 

 

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