Práctica #5, Interpolación de Newton y Método de Lagrange.

 

Práctica #5, Interpolación de Newton y Método de Lagrange.

Resumen—En este artículo se explorará la introducción, el desarrollo de la realización de la práctica 5 en donde se explorara los diferentes comandos que tiene el software a utilizar Excel, además se desarrollaran los conocimientos básicos de la computadora y la utilización de las matemáticas básicas y el álgebra así como los cálculos previamente indicados en esta quinta práctica y reforzando nuestros conocimientos en el software de Excel; además del análisis de los distintos tipos de cálculos para encontrar los valores perdidos por medio de cálculos esenciales para obtener los valores calculados y compararlos con el valor real. Además es esta práctica se usara un nuevo software llamado Mathcad que se usara igualmente para encontrar algunos valores perdidos, desconocidos para igualmente compararlos con el valor real.

 

    Palabras clave—Excel, Práctica 5, software, comandos, computadoras, Mathcad.

 

I.     INTRODUCCIÓN

L

os comandos en Excel pueden tener muchas características útiles para la mejor comprensión para una idea mejor al momento de la realización de una o varias tareas prácticas; unas de las mejores que nos servirían mucho para esta segunda práctica son [1]:

·          Realizan acciones del mismo modo que los usuarios.

·         Pueden hacer lo que haga un usuario, como modificar la configuración de Excel, abrir, cerrar y editar documentos, iniciar actualizaciones, etc.

·         Pueden mostrar cuadros de diálogo e interactuar con el usuario.

·         Se pueden vincular para controlar los objetos de modo que se les llame al realizar alguna acción en ese objeto, como al hacer clic.

 

Además de estudiar los tipos de interpolación que aplicaremos en esta práctica 5, debemos de conocen en que consiste la interpolación en general. La interpolación se denomina como a la obtención de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos [2].

En este caso aplicaremos la interpolación de Newton y el método de Lagrange.

La interpolación de Newton, Es un método de interpolación polinómica. Aunque sólo existe un único polinomio que interpola una serie de puntos, existen diferentes formas de calcularlo. Este método es útil para situaciones que requieran un número bajo de puntos para interpolar, ya que a medida que crece el número de puntos, también lo hace el grado del polinomio [3].

El método de Lagrange es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente [4].

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II.     DESARROLLO DE LA PRÁCTICA 5

 

Para el desarrollo de la práctica se necesitan varias cosas; las principales son: la descripción de la práctica, es decir, en que consiste la práctica, los materiales a usar y finalmente el desarrollo de dicha práctica.

 

1.2.1 DESCRIPCION DE LA PRÁCTICA

 

Una breve descripción de la práctica es que el alumno encontrara valores perdidos dentro de una tabla de valores proporcionada posteriormente el alumno calculara la función que corresponde a la tabla de valores y compara la gráfica con los valores de la tabla.

 

1.2.2 MATERIALES A USAR

 

·         Computadora

·         Software (Microsoft Excel)

·         Software (Geogebra)

·         Software Mathcad

·         Proyector

 

 

1.2.3 REALIZACIÓN DE LA PRÁCTICA

 

Principalmente para el desarrollo de la práctica se necesitan el software de Excel, lo abrimos creamos una hoja para trabajar con la tabla que nos da la práctica 5 como se muestra en la Tabla 1, pero principalmente aplicamos el método de interpolación de Newton para encontrar los valores desconocidos de “y” para los valores de x=11 y x=50; para encontrar los valores calculados.

 

La práctica se realizó de la forma siguiente:

 

Paso 1. Interpolación de Newton.

Ya sabemos que vamos a aplicar en esta práctica  el método de interpolación de Newton y el método de Lagrange.

Entonces primero empezamos a trabajar con el método de interpolación de Newton, en este método se necesitaran conocer los valores reales para conocer los valores desconocidos y obtener los valores calculados. Poniendo en práctica los comandos básicos, podemos establecer en la hoja de Excel una tabla básica para encontrar los valores de b1, b2, b3,…..bn, dependiendo del número “n” totales que nos de la tabla; en este caso la tabla tiene en total 9 valores dados. Como se observa en la Fig. 1, la tabla estructurada de cómo quedan los valores calculados y obtenidos en forma de escalera.

 

Fig. 1. Valores obtenidos calculados de “bn”.

 

Al obtener los valores de “bn” y los valores calculados de las diferencias de “X-XN” valores podemos obtener los valores calculados para poder compararlos con los valores reales. Como se observa  en la Fig. 2, obtenemos los valores calculados para x=11 y x=50 y comparamos que sean iguales o que se aproximen al mismo valor.

 

Fig. 2. Valores obtenidos calculados comparados con los valores reales.

 

Paso 2. Valores calculados con Mathcad.

Ahora en esta parte de la práctica usaremos el software Mathcad para calcular al menos tres funciones de la tabla 1. Para demostrar y comprobar el método de Lagrance y obtener dichas funciones que comprobaremos más adelante y las usaremos más adelante. Principalmente abrimos el software y en una hoja limpia damos valores a “x” y a “y” respectivamente y tomados de la tabla 1. Como se observa en la Fig. 3.

Fig. 3. Valores obtenidos de la tabla 1 para realizar el método de Lagrange.

 

Una vez dados los valores a las variables podemos aplicar el método de Lagrange y al aplicarlo podemos evaluar tanto a las incógnitas de “A, B, C”, como se muestra en la Fig. 4. Se aprecian las tres distintas funciones obtenidas al calcularlas con el método.

Fig. 4. Funciones obtenidas al evaluar las incógnitas con el método de Lagrange.

 

Ahora bien, al obtener las funciones las podemos graficar para obtener una vista grafica previa junto los puntos de la tabla 1, esto es, para que se pueda observar que las funciones calculadas sean las aproximaciones de los distintos puntos, como se observa en la Fig. 5. Las 3 distintas funciones obtenidas.

Fig. 5. Demostración de la aproximación de los puntos con respecto a las funciones.

 

Además de obtener la vista grafica de las funciones calculadas, podemos obtener los valores finales sustituyendo en ellas las incógnitas de “x” para obtener un solo resultado. Para ello calcularemos los valores desconocidos de “Y” para los valores de x=11 y x=50 en cada una de las funciones obtenidas calculadas con el método de lagrange. Como se muestra en la Fig. 6, con x=11.

 

Fig. 6. Valores calculados y obtenidos al sustituir en x=11.

 

Con x=50, como se muestra en la Fig. 7.

 

Fig. 7. Valores calculados. Obtenidos al sustituir x=50 en las funciones calculadas.

Para obtener una mejor vista previa de los valores obtenidos calculados podemos realizar una tabla con los respectivos valores calculados con el método de interpolación de Newton y el método de Lagrange para así tener un mejor orden y poder comparar mucho mejor los resultados, como se puede observar en la tabla 2.

 

Tabla 2. Resultados obtenidos y comparados de los pasos anteriores.

	X=11	X=50	Función
Resultados por Newton	465460.733	-141661294.3
Función 1 por LaGrange	3880.33324	149808.57973	Y=69.29(x-3)(x-4)
Función 2 por Lagrange	185212.2258	6.4912475328e6	Y=2939.87(x-2)(x-4)
Función 3 por Lagrange	691392.21696	2.166362279808e7	Y=9602.66(x-2)(x-3)

 

Por lo general con el método de interpolación es un método más fácil obtener el valor a calcular para obtenerlo y compararlo con el valor real dado.

 

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

 

Ahora vamos a suponer que se pierden ahora los valores de “Y” para x=10 y x=15; entonces para calcular los valores usaremos los métodos de Newton y de Lagrange, como se observa en la Fig. 8. Se puede comparar los resultados obtenidos tanto en Excel como en Mathcad.

 

Fig. 8. Resultados obtenidos comparados con x=10 y x=15.

III.     CONCLUSIONES

En esta práctica Comprendimos diferentes comandos referentes a matemáticas, para la realización de escritura de comandos usando formulas podemos obtener los valores de a0, a1, a2 y respectivamente del método que usamos  para realizar o utilizar los diferentes tipos de métodos de regresión que tenemos a nuestra disposición y, además se observo en la realización de esta práctica los diferentes métodos gráficos de regresión de solución para encontrar las funciones calculadas y al momento de graficarlas en Geogebra para determinar si era la correcta o no; determinamos varias tablas para la función calculada deseada, sin embargo no en todas las tablas hechas en algunos métodos se pudo lograr la función por consecuencia y propiedades de las matemáticas. En mi opinión el método de interpolación de Newton es mucho más fácil que el método de Lagrange para obtener los valores y las funciones calculadas y observar las gráficas que se aproximan a los puntos de las tabla 1.

IV.     REFERENCIAS

 

[1].    Microsoft Office. “Information general Excel Office”. Internet: https://support.office.com/es-es/article/informaci%C3%B3n-general-sobre-f%C3%B3rmulas-en-excel-ecfdc708-9162-49e8-b993-c311f47ca173  Oct, 17 2013 [Feb. 19, 2020].

 

[2].    Wikipedia.  “INTERPOLACIÓN”. Internet: https://es.wikipedia.org/wiki/Interpolaci%C3%B3n Junio, 01 2019 [Marzo. 18, 2020].

 

[3].    Wikipedia. “Interpolación de Newton”. Internet:  https://es.wikipedia.org/wiki/Interpolaci%C3%B3n_polin%C3%B3mica_de_Newton Abril 2, 2018 [Marzo. 18, 2020].

 

[4].    Wikipedia. “Método de Lagrange”. Internet:  https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicadores_de_Lagrange   Abril 4, 2017 [Marzo. 18, 2020].