Leyes de Kirchhoff

 Las leyes de Kirchhoff 1​ 2​ 3​ son dos igualdades que se basan en la conservación de la energía y la carga en los circuitos eléctricos 4​. Fueron descritas por primera vez en 1846 por Gustav Kirchhoff. Son ampliamente usadas en ingeniería eléctrica e ingeniería electrónica.

Ambas leyes de circuitos pueden derivarse directamente de las ecuaciones de Maxwell, pero Kirchhoff precedió a Maxwell y gracias a Georg Ohm su trabajo fue generalizado. Estas leyes son utilizadas para hallar corrientes y tensiones en cualquier punto de un circuito eléctrico.

Ley de corrientes de Kirchhoff

Véase también: Análisis de nodos

La corriente que entra a un nodo es igual a la corriente que sale del mismo. i1 + i4 = i2 + i3

Esta ley también es llamada ley de nodos o primera ley de Kirchhoff 5​ 6​ y es común que se use la sigla LCK para referirse a esta ley. La ley de corrientes de Kirchhoff nos dice que:

En cualquier nodo, la suma de las corrientes que entran en ese nodo es igual a la suma de las corrientes que salen. De forma equivalente, la suma de todas las corrientes que pasan por el nodo es igual a cero

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}I_{k}=I_{1}+I_{2}+I_{3}+\dots +I_{n}=0}$

De igual manera que con la corriente, las tensiones también pueden ser complejos, así:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\tilde {V}}_{k}=0}$

Esta ley se basa en la conservación de un campo potencial de energía. Dado una diferencia de potencial, una carga que ha completado un lazo cerrado no gana o pierde energía al regresar al potencial inicial.

Esta ley es cierta incluso cuando hay resistencia en el circuito. La validez de esta ley puede explicarse al considerar que una carga no regresa a su punto de partida, debido a la disipación de energía. Una carga simplemente terminará en el terminal negativo, en vez del positivo. Esto significa que toda la energía dada por la diferencia de potencial ha sido completamente consumida por la resistencia, la cual la transformará en calor. Teóricamente, y, dado que las tensiones tienen un signo, esto se traduce con un signo positivo al recorrer un circuito desde un mayor potencial a otro menor, y al revés: con un signo negativo al recorrer un circuito desde un menor potencial a otro mayor.

Ley de tensiones de Kirchhoff, en este caso v₄= v₁+v₂+v₃. No se tiene en cuenta a v₅ porque no forma parte de la malla que estamos analizando.

En resumen, la ley de tensión de Kirchhoff no tiene nada que ver con la ganancia o pérdida de energía de los componentes electrónicos (Resistores, capacitores, etc.). Es una ley que está relacionada con el campo potencial generado por fuentes de tensión. En este campo potencial, sin importar que componentes electrónicos estén presentes, la ganancia o pérdida de la energía dada por el campo potencial debe ser cero cuando una carga completa un lazo.

Campo eléctrico y potencial eléctrico[editar]

La ley de tensión de Kirchhoff puede verse como una consecuencia del principio de la conservación de la energía. Considerando ese potencial eléctrico se define como una integral de línea, sobre un campo eléctrico, la ley de tensión de Kirchhoff puede expresarse como:

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =0,}$

Que dice que la integral de línea del campo eléctrico alrededor de un lazo cerrado es cero.

Para regresar a una forma más especial, esta integral puede "partirse" para conseguir la tensión de un componente en específico.

Caso práctico[editar]

Asumiendo una red eléctrica consistente en dos fuentes y tres resistencias, disponemos la siguiente resolución: (antes de empezar, es necesario aclarar la convención de signos: si recorro la malla a favor de la corriente, el potencial asociado a la resistencia es negativo; caso contrario es positivo. Si recorro la fuente y hay una subida de potencial (de - a +), la fem es negativa; caso contrario es positiva).

De acuerdo con la primera ley de Kirchhoff (ley de los nodos), tenemos:

${\displaystyle i_{1}-i_{2}-i_{3}=0\,}$

La segunda ley de Kirchhoff (ley de las mallas), aplicada a la malla según el circuito cerrado s₁, nos hace obtener:

${\displaystyle -R_{2}i_{2}+\epsilon _{1}-R_{1}i_{1}=0}$

La segunda ley de Kirchhoff (ley de las mallas), aplicada a la malla según el circuito cerrado s₂, por su parte:

${\displaystyle -R_{3}i_{3}-\epsilon _{2}-\epsilon _{1}+R_{2}i_{2}=0}$

Debido a lo anterior, se nos plantea un sistema de ecuaciones con las incógnitas ${\displaystyle i_{1},i_{2},i_{3}}$:

${\displaystyle {\begin{cases}i_{1}-i_{2}-i_{3}&=0\\-R_{2}i_{2}+\epsilon _{1}-R_{1}i_{1}&=0\\-R_{3}i_{3}-\epsilon _{2}-\epsilon _{1}+R_{2}i_{2}&=0\\\end{cases}}}$

Dadas las magnitudes:

${\displaystyle R_{1}=100,\ R_{2}=200,\ R_{3}=300,\ \epsilon _{1}=3,\ \epsilon _{2}=4}$,

la solución definitiva sería:

${\displaystyle {\begin{cases}i_{1}={\frac {1}{1100}}\\i_{2}={\frac {4}{275}}\\i_{3}=-{\frac {3}{220}}\\\end{cases}}}$

Se puede observar que ${\displaystyle i_{3}}$ tiene signo negativo, lo cual significa que la dirección de ${\displaystyle i_{3}}$ es inversa respecto de lo que hemos asumido en un principio (la dirección de ${\displaystyle i_{3}}$ -en rojo- definida en la imagen).