Tus Matemáticas Científicas

martes, 26 de mayo de 2020

mayo 26, 2020

Matemáticas discretas - Información complementaria

Las matemáticas discretas son un área de las matemáticas encargadas del estudio de los conjuntos discretos: finitos o infinitos numerables.

En oposición a las matemáticas continuas, que se encargan del estudio de conceptos como la continuidad y el cambio continuo, las matemáticas discretas estudian estructuras cuyos elementos pueden contarse uno por uno separadamente. Es decir, los procesos en matemáticas discretas son contables, como por ejemplo, los números enteros, grafos y sentencias de lógica.¹

Mientras que el cálculo infinitesimal está fundado en los números reales que no son numerables, la matemática discreta es la base de todo lo relacionado con los números naturales o conjuntos numerables.

Son fundamentales para la ciencia de la computación, porque solo son computables las funciones de conjuntos numerables.^{[cita requerida]}

La clave en matemáticas discretas es que no es posible manejar las ideas de proximidad o límite y suavidad en las curvas, como se puede en el cálculo. Por ejemplo, en matemáticas discretas una incógnita puede ser 2 o 3, pero nunca se aproximará a 3 por la izquierda con 2.9, 2.99, 2.999, etc. Las gráficas en matemáticas discretas vienen dadas por un conjunto finito de puntos que se pueden contar por separado; es decir, sus variables son discretas o digitales, mientras que las gráficas en cálculo son trazos continuos de rectas o curvas; es decir, sus variables son continuas o analógicas.

Historia

Las matemáticas discretas han visto un gran número de problemas difíciles de resolver. En teoría de grafos, mucha de la investigación realizada en sus inicios fue motivada por intentos para probar el teorema de los cuatro colores, el cual fue probado más de cien años después de su inicial descripción. El problema de los puentes de Königsberg, un problema clásico del prolífico Leonhard Euler.

En lógica, el segundo problema de la lista de problemas abiertos de David Hilbert, era probar que los axiomas de la aritmética son consistentes. El segundo teorema de Gödel de la incompletitud probó en 1931 que esto no es posible, por lo menos dentro de la aritmética en sí. El décimo problema de Hilbert era determinar si un polinomio diofántico con coeficientes enteros dado tiene una solución entera. En 1970, Yuri Matiyasevich probó que esto es imposible de hacer.

La necesidad de descifrar códigos alemanes en la Segunda Guerra Mundial dio paso a avances en la criptografía y la ciencia computacional teórica, con el primer computador electrónico, digital y programable desarrollado en Inglaterra. Al mismo tiempo, requerimientos militares motivaron avances en la investigación de operaciones. La Guerra Fría tuvo significancia en la criptografía, y la mantuvo vigente, con lo que se realizaron avances en la criptografía asimétrica.

Actualmente, uno de los problemas abiertos más famosos en la teoría de la informática es el problema de las clases de complejidad "P = NP". El Clay Mathematics Institute ha ofrecido un premio de un millón de dólares para la primera demostración correcta, junto con premios para 6 problemas más.

Tópicos en la matemática discreta

Informática teórica

La complejidad estudia el tiempo en el cual un algoritmo se ejecuta.

La teoría de la informática incluye áreas de la matemática discreta relevante a la computación. Está altamente relacionada con teoría de grafos y lógica. Dentro de la teoría de la informática se encuentra la teoría de algoritmos para problemas matemáticos. La computabilidad estudia lo que puede ser computado y tiene lazos fuertes con la lógica, mientras que la complejidad estudia el tiempo que se necesita para hacer los cálculos. La teoría de autómatas, los lenguajes formales y la Dinámica de sistemas se relacionan de manera cercana con la computabilidad. Las redes de Petri y álgebra de procesos se usan para modelar sistemas de cálculo, y los métodos de la matemática discreta se usan para analizar circuitos VLSI. La geometría computacional aplica algoritmos a problemas geométricos, mientras que el análisis digital de imágenes los aplica a representaciones de imágenes. La teoría informática también incluye el estudio de tópicos de informática continua.

Teoría de la información

Los códigos mostrados aquí son una manera de representar una palabra en teoría de la información, como también para algoritmos de proceso de información.

La teoría de la información se ve involucrada en la cuantificación de la información. Cercanamente relacionado a esto es la teoría de codificación, que es usada para diseñar métodos de transmisión y almacenamiento de datos eficientes y confiables. La teoría de la información también incluye tópicos continuos tales como señales análogicas, codificación análoga y cifrado análogo.

Lógica

La lógica es el estudio de los principios del razonamiento válido y la inferencia, como también de la consistencia, solidez y completitud. Por ejemplo, en la mayoría de los sistemas en la lógica, la ley de Peirce, (((P→Q)→P)→P) es un teorema. En lógica clásica, puede ser fácilmente verificado con una tabla de verdad. El estudio de las demostraciones matemáticas es particularmente importante en lógica y tiene aplicaciones en la demostración automática de teoremas y verificación formal de software.

Las fórmulas lógicas son estructuras discretas, como lo son las demostraciones, las cuales forman árboles finitos, o más generalmente, estructuras de grafos acíclicos (en cada paso de inferencia combinando una o más ramas de premisas para dar una sola conclusión). Las tablas de verdad de fórmulas lógicas usualmente forman un conjunto finito, generalmente restringido a dos valores: verdadero y falso, pero la lógica puede tener valores continuos, por ejemplo en la lógica difusa. Los conceptos como árboles de demostraciones o derivaciones infinitas también han sido estudiados, por ejemplo en la lógica proposicional infinitaria.

Teoría de conjuntos

La teoría de conjuntos es la rama de la matemática que estudia conjuntos matemáticos, los cuales son colecciones de objetos, tales como {azul, blanco, rojo} o el conjunto infinito de todos los números primos. Conjuntos parcialmente ordenados y conjuntos con otras relaciones tienen aplicación en muchas áreas.

En la matemática discreta, los conjuntos numerables (incluyendo conjuntos finitos) son el principal objeto de estudio. El inicio de la teoría de conjuntos generalmente se relaciona con el trabajo de Georg Cantor, haciendo distinción entre diferentes tipos de conjuntos infinitos, motivado por el estudio de las series trigonométricas. El desarrollo más profundo en la teoría de conjuntos infinitos está fuera del alcance de la matemática discreta. De hecho, el trabajo contemporáneo en teoría descriptiva de conjuntos hace uso extenso del uso de la matemática continua tradicional.

Combinatoria

La combinatoria es la rama de la matemática que estudia colecciones finitas de objetos que pueden ser combinados u ordenados.

La combinatoria enumerativa se ocupa, en particular, del "recuento" de los objetos de dichas colecciones.

La combinatoria analítica se concentra en la enumeración de estructuras combinatorias utilizando herramientas de análisis complejo y teoría de probabilidad. En contraste con la combinatoria enumerativa, que usa fórmulas combinatorias explícitas y funciones generadoras para describir los resultados, la combinatoria analítica se enfoca en obtener fórmulas asintóticas.

La teoría de diseño es el estudio de diseños combinatorios, que son clases de subconjuntos con ciertas propiedades numéricas de intersección.

La teoría de particiones estudia varios problemas asintóticos y de enumeración relacionados con particiones enteras, y está relacionada con series q, funciones especiales y polinomios ortogonales. Originalmente una parte de teoría numérica y análisis, la teoría de particiones es considerada una parte de combinatoria, o un área independiente.

La teoría del orden es el estudio de conjuntos parcialmente ordenados, finitos e infinitos.

Teoría de grafos

La teoría de grafos se relaciona estrechamente con la Teoría de grupos. Este grafo de un tetraedro truncado está relacionado con el grupo alternado A₄.

La teoría de grafos es el estudio de grafos y la teoría de redes. Generalmente es considerada parte de la Combinatoria, pero ha evolucionado por su parte lo suficiente como para ser considerada una materia por sí misma.² La teoría de grafos tiene extensas aplicaciones en todas las áreas de la matemática y la ciencia. Existen, incluso, grafos continuos.

Teoría de distribuciones de probabilidad discretas

La teoría de distribuciones discretas trata con eventos que ocurren en espacios de muestra numerables. Por ejemplo, conteos como el número de aves en una bandada solo pueden tener valores naturales {0, 1, 2,...}. Por otra parte, observaciones continuas como los pesos de estas aves se pueden representar mediante números reales, y típicamente serían modelados por una distribución de probabilidad continua, como por ejemplo, la distribución normal. Distribuciones continuas pueden ser utilizadas para aproximar discretas y viceversa. Para situaciones en las cuales los valores posibles son altamente restringidos en su variabilidad, como por ejemplo en dados o cartas, calcular las probabilidades simplemente necesita de combinatoria enumerativa.

Teoría de números

La espiral de Ulam muestra aquí, en cada pixel negro, un número primo. Este diagrama muestra una posible pista sobre la distribución de los números primos.

La teoría de números principalmente tiene que ver con las propiedades de los números en general y, particularmente, de los enteros. Tiene aplicaciones en la criptografía, criptoanálisis y criptología, particularmente en lo que refiere a números primos. Otros aspectos de la teoría de números incluye la teoría geométrica de números. En la teoría analítica de números, también se utilizan técnicas de matemática continua.

Álgebra

Las estructuras algebraicas ocurren discreta y continuamente. Como ejemplos de álgebras discretas están: el álgebra booleana, utilizada en circuitos digitales y programación, álgebra relacional, utilizada en bases de datos; grupos, finitos y discretos, así como anillos y campos son importantes en la teoría de códigos.

Cálculo de diferencias finitas

Una función definida en un intervalo de enteros se llama secuencia. Una secuencia puede ser una finita o infinita. Tal función discreta puede ser definida explícitamente por una lista (si su dominio es finito), o por una fórmula para su término n-esimo, o también puede ser dada implícitamente por una relación de recurrencia o ecuación de diferencia. Las ecuaciones de diferencia son similares a las ecuaciones diferenciales pero se reemplazan las derivadas tomando la diferencia entre términos adyacentes y pueden ser utilizadas para aproximar ecuaciones diferenciales. Muchas interrogantes y métodos de las ecuaciones diferenciales tienen sus contrapartes para ecuaciones de diferencias.

Geometría discreta

La geometría computacional aplica algoritmos a representaciones de objetos geométricos.

La geometría discreta y la geometría combinatoria tratan las propiedades combinatorias de colecciones discretas de objetos geométricos. Un antiguo tópico en la geometría discreta es el recubrimiento del plano. La geometría computacional aplica algoritmos a problemas geométricos.

Topología

Si bien la topología general es el campo de las matemáticas que formaliza y generaliza la noción intuitiva de "deformación continua" de los objetos, o el proceso de límite, da paso a muchos tópicos discretos. Esto puede ser atribuido en parte a la atención que se le da a los invariantes topológicos, que toman, por lo general, valores discretos. Entre sus ramas de estudio se encuentran la topología combinatoria, topología de grafos, topología computacional y topología algebraica, entre otros.

Investigación de operaciones

Diagramas PERTcomo este, proveen técnicas de administración de negocios basados en teoría de grafos.

La investigación de operaciones es una rama de las matemáticas consistente en el uso de modelos matemáticos, estadística y algoritmos con objeto de realizar un proceso de toma de decisiones prácticas para negocios y otras áreas. Estos problemas pueden ser, por ejemplo, la repartición de recursos para maximizar ingresos, o agendar actividades para minimizar riesgos. Técnicas propias de la investigación de operaciones incluyen programación lineal y otras áreas de optimización, teoría de colas, algoritmos de planificación, análisis de redes. La investigación de operaciones también incluye tópicos continuos como procesos de Markov de tiempo continuo, optimización de procesos, martingalas de tiempo continuo, etc.

Teoría de juegos, teoría de la decisión, teoría de utilidad

Matriz de ganancias del dilema del prisionero, un ejemplo común de juego. Un jugador elige una fila y el otro una columna; el par resultante dicta sus ganancias.

La teoría de la decisión trata fundamentalmente con identificar los valores, incertidumbres y otros factores relevantes en una decisión, su racionalidad y la decisión óptima resultante.

La teoría de utilidades es sobre medidas de la relativa satisfacción económica proveniente del consumo de algún bien o servicio.

La teoría de juegos trata con las situaciones donde el éxito depende de las decisiones de otros, lo cual hace elegir el mejor curso de acción más complejo. Tópicos incluyen la Teoría de subasta y la división justa.

La teoría de decisión social estudia las elecciones.

Discretización

La discretización busca transformar modelos y ecuaciones continuos en sus contrapartes discretas,³ usualmente para hacer cálculos más fácilmente utilizando aproximaciones. El análisis numérico es un importante ejemplo.

Referencias

Weisstein, Eric W. «Matemáticas discretas». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

Graphs on Surfaces, Bojan Mohar and Carsten Thomassen, Johns Hopkins University press, 2001

http://ccc.inaoep.mx/~emorales/Cursos/KDD/node155.html

Archivado el 30 de abril de 2010 en la Wayback Machine. Discretización de Valores

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mayo 26, 2020

MATEMÁTICAS GENERAL

Las matemáticas es una ciencia formal que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones entre entidades abstractas como números, figuras geométricas, iconos, glifos, o símbolos en general.

La matemática en realidad es un conjunto de lenguajes formales que pueden ser usados como herramienta para plantear problemas de manera no ambigua en contextos específicos. Por ejemplo, el siguiente enunciado podemos decirlo de dos formas: X es mayor que Y e Y es mayor que Z, o forma simplificada podemos decir que X > Y > Z. Este es el motivo por el cual las matemáticas son tan solo un lenguaje simplificado con una herramienta para cada problema específico (por ejemplo 2+2= 4, o 2x2= 4).

La enorme utilidad de las matemáticas en las ciencias naturales es algo que roza lo misterioso, y no hay explicación para ello. No es en absoluto natural que existan “leyes de la naturaleza”, y mucho menos que el hombre sea capaz de descubrirlas. El milagro de lo apropiado que resulta el lenguaje de las matemáticas para la formulación de las leyes de la física es un regalo maravilloso que no comprendemos ni nos merecemos.

Mediante la abstracción y el uso de la lógica en el razonamiento, las matemáticas han evolucionado basándose en las cuentas, el cálculo y las mediciones, junto con el estudio sistemático de la forma y el movimiento de los objetos físicos. Las matemáticas, desde sus comienzos, han tenido un fin práctico.

Las explicaciones que se apoyaban en la lógica aparecieron por primera vez con la matemática helénica, especialmente con los Elementos de Euclides. Las matemáticas siguieron desarrollándose, con continuas interrupciones, hasta que en el Renacimiento las innovaciones matemáticas interactuaron con los nuevos descubrimientos científicos. Como consecuencia, hubo una aceleración en la investigación que continúa hasta la actualidad.

Hoy en día, las matemáticas se usan en todo el mundo como una herramienta esencial en muchos campos, entre los que se encuentran las ciencias naturales, la ingeniería, la medicina y las ciencias sociales, e incluso disciplinas que, aparentemente, no están vinculadas con ella, como la música (por ejemplo, en cuestiones de resonancia armónica). Las matemáticas aplicadas, rama de las matemáticas destinada a la aplicación del conocimiento matemático a otros ámbitos, inspiran y hacen uso de los nuevos descubrimientos matemáticos y, en ocasiones, conducen al desarrollo de nuevas disciplinas. Los matemáticos también participan en las matemáticas puras, sin tener en cuenta la aplicación de esta ciencia, aunque las aplicaciones prácticas de las matemáticas puras suelen ser descubiertas con el paso del tiempo.

Origen y etimología

La palabra «matemática» (del griego μαθηματικά mathēmatiká , «cosas que se aprenden») viene del griego antiguo μάθημα (máthēma), que quiere decir «campo de estudio o instrucción». Las matemáticas requieren un esfuerzo de aprendizaje o instrucción, refiriéndose a áreas del conocimiento que sólo pueden entenderse tras haber sido instruido en las mismas, como la astronomía. «El arte matemática» (μαθηματική τέχνη, mathēmatikḗ tékhnē) se contrapondría en esto a la música, «el arte de las musas» (μουσική τέχνη, mousikē téchnē), que sería un arte, como la poesía, retórica y similares, que se puede apreciar directamente, «que se puede entender sin haber sido instruido». Aunque el término ya era usado por los pitagóricos (matematikoi) en el siglo VI a. C., alcanzó su significado más técnico y reducido de «estudio matemático» en los tiempos de Aristóteles (siglo IV a. C.). Su adjetivo es μαθηματικός (mathēmatikós), «relacionado con el aprendizaje», lo cual, de manera similar, vino a significar «matemático». En particular, μαθηματική τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē; en latín ars mathematica), significa «el arte matemática».

La forma más usada es el plural matemáticas, que tiene el mismo significado que el singular y viene de la forma latina mathematica (Cicerón), basada en el plural en griego τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), usada por Aristóteles y que significa, a grandes rasgos, «todas las cosas matemáticas». Algunos autores, sin embargo, hacen uso de la forma singular del término; tal es el caso de Bourbaki, en el tratado Elementos de matemática (Élements de mathématique, 1940), destaca la uniformidad de este campo aportada por la visión axiomática moderna, aunque también hace uso de la forma plural como en Éléments d'histoire des mathématiques (Elementos de historia de las matemáticas) (1969), posiblemente sugiriendo que es Bourbaki quien finalmente realiza la unificación de las matemáticas.⁵ Así mismo, en el escrito L'Architecture des mathématiques (1948) plantea el tema en la sección «Matemáticas, singular o plural» donde defiende la unicidad conceptual de las matemáticas aunque hace uso de la forma plural en dicho escrito.

Algunas definiciones de matemática

Establecer definiciones claras y precisas es el fundamento de la matemática, pero definirla ha sido difícil, se muestran algunas definiciones de pensadores famosos:

René Descartes: (Cirilo Flórez Miguel, ed. Obra completa. Biblioteca de Grandes Pensadores 2004) "La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles".
David Hilbert: (Putnam, Hilary: On the infinite. Philosophy of Mathematics, p.187, 1998). “En un cierto sentido, el análisis matemático es una sinfonía del infinito. La matemática es el sistema de las fórmulas demostrables”.
Benjamin Peirce: (Nahin, Paul , The Story of i , p.68, 1998). “La matemática es la ciencia que extrae conclusiones necesarias.”
Bertrand Russell: (Principia mathematica, 1913). “Las matemáticas poseen no solo la verdad, sino cierta belleza suprema. Una belleza fría y austera, como la de una escultura.”
Ibo Bonilla: (¿Qué es matemática?, Academia.edu, 2014). "Hacer matemática es desentrañar los ritmos del Universo". "La matemática es la ciencia de estructurar una realidad estudiada, es el conjunto de sus elementos, proporciones, relaciones y patrones de evolución en condiciones ideales para un ámbito delimitado".
John David Barrow: (Imposibilidad. P 96. Gedisa, 1999). “En el fondo, matemática es el nombre que le damos a la colección de todas las pautas e interrelaciones posibles. Algunas de estas pautas son entre formas, otras en secuencias de números, en tanto que otras son relaciones más abstractas entre estructuras. La esencia de la matemática está en la relación entre cantidades y cualidades”.

Epistemología y controversia sobre la matemática como ciencia

El carácter epistemológico y científico de las matemáticas ha sido ampliamente discutido. En la práctica, las matemáticas se emplean para estudiar relaciones cuantitativas, estructuras, relaciones geométricas y las magnitudes variables. Los matemáticos buscan patrones, formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemática mediante deduccionesrigurosas. Estas les permiten establecer los axiomas y las definiciones apropiados para dicho fin. Algunas definiciones clásicas restringen las matemáticas al razonamiento sobre cantidades, aunque solo una parte de las matemáticas actuales usan números, predominando el análisis lógico de construcciones abstractas no cuantitativas.

Existe cierta discusión acerca de si los objetos matemáticos, como los números y puntos, realmente existen o simplemente provienen de la imaginación humana. El matemático Benjamin Peirce definió las matemáticas como "la ciencia que señala las conclusiones necesarias". Por otro lado, Albert Einstein declaró que: "cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son exactas; cuando son exactas, no se refieren a la realidad".

Se ha discutido el carácter científico de las matemáticas debido a que sus procedimientos y resultados poseen una firmeza e inevitabilidad inexistentes en otras disciplinas como pueden ser la física, la química o la biología. Así, la matemática sería tautológica, infalible y a priori, mientras que otras, como la geología o la fisiología, serían falibles y a posteriori. Son estas características lo que hace dudar de colocarse en el mismo rango que las disciplinas antes citadas. John Stuart Mill afirmaba:

La lógica no observa ni inventa ni descubre, pero juzga.

Así, los matemáticos pueden descubrir nuevos procedimientos para resolver integrales o teoremas, pero se muestran incapaces de descubrir un suceso que ponga en duda el Teorema de Pitágoras o cualquier otro, como sí sucede constantemente con las ciencias de la naturaleza.

La matemática puede ser entendida como ciencia; si es así debiera señalarse su objeto y su método. Sin embargo, algunos plantean que la matemática es un lenguaje formal, seguro, eficiente, aplicable al entendimiento de la naturaleza, tal como indicó Galileo; además muchos fenómenos de carácter social, otros de carácter biológico o geológico, pueden ser estudiados mediante la aplicación de ecuaciones diferenciales, cálculo de probabilidades o teoría de conjunto. Precisamente, el avance de la física y de la química ha exigido la invención de nuevos conceptos, instrumentos y métodos en la matemática, sobre todo en el análisis real, análisis complejo y el análisis matricial.

Historia

Página del Compendio de cálculo por compleción y comparación de Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī(820 d. C.).

La historia de las matemáticas es el área de estudio de investigaciones sobre los orígenes de descubrimientos en matemáticas, de los métodos de la evolución de sus conceptos y también en cierto grado, de los matemáticos involucrados. El surgimiento de la matemática en la historia humana está estrechamente relacionado con el desarrollo del concepto de número, proceso que ocurrió de manera muy gradual en las comunidades humanas primitivas. Aunque disponían de una cierta capacidad de estimar tamaños y magnitudes, no poseían inicialmente una noción de número. Así, los números más allá de dos o tres, no tenían nombre, de modo que utilizaban alguna expresión equivalente a "muchos" para referirse a un conjunto mayor.

El siguiente paso en este desarrollo es la aparición de algo cercano a un concepto de número, aunque muy incipiente, todavía no como entidad abstracta, sino como propiedad o atributo de un conjunto concreto.¹⁵ Más adelante, el avance en la complejidad de la estructura social y sus relaciones se fue reflejando en el desarrollo de la matemática. Los problemas a resolver se hicieron más difíciles y ya no bastaba, como en las comunidades primitivas, con solo contar cosas y comunicar a otros la cardinalidad del conjunto contado, sino que llegó a ser crucial contar conjuntos cada vez mayores, cuantificar el tiempo, operar con fechas, posibilitar el cálculo de equivalencias para el trueque. Es el momento del surgimiento de los nombres y símbolos numéricos.

Antes de la edad moderna y la difusión del conocimiento a lo largo del mundo, los ejemplos escritos de nuevos desarrollos matemáticos salían a la luz solo en unos pocos escenarios. Los textos matemáticos más antiguos disponibles son la tablilla de barro Plimpton 322 (c. 1900 a. C.), el papiro de Moscú (c. 1850 a. C.), el papiro de Rhind (c. 1650 a. C.) y los textos védicos Shulba Sutras (c. 800 a. C.). En todos estos textos se menciona el teorema de Pitágoras, que parece ser el más antiguo y extendido desarrollo matemático después de la aritmética básica y la geometría.

Tradicionalmente se ha considerado que la matemática, como ciencia, surgió con el fin de hacer los cálculos en el comercio, para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronómicos. Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisión amplia de la matemática en el estudio de la estructura, el espacio y el cambio.^{[cita requerida]}

Las matemáticas egipcias y babilónicas fueron ampliamente desarrolladas por la matemática helénica, donde se refinaron los métodos (especialmente la introducción del rigor matemático en las demostraciones) y se ampliaron los asuntos propios de esta ciencia. La matemática en el islam medieval, a su vez, desarrolló y extendió las matemáticas conocidas por estas civilizaciones ancestrales. Muchos textos griegos y árabes de matemáticas fueron traducidos al latín, lo que llevó a un posterior desarrollo de las matemáticas en la Edad Media. Desde el renacimiento italiano, en el siglo XV, los nuevos desarrollos matemáticos, interactuando con descubrimientos científicos contemporáneos, han ido creciendo exponencialmente hasta el día de hoy.

La inspiración, las matemáticas puras, aplicadas y la estética

Sir Isaac Newton (1643-1727), comparte con Leibniz la autoría del desarrollo del cálculo integral y diferencial.

Es muy posible que el arte del cálculo haya sido desarrollado antes incluso que la escritura, relacionado fundamentalmente con la contabilidad y la administración de bienes, el comercio, en la agrimensura y, posteriormente, en la astronomía.

Actualmente, todas las ciencias aportan problemas que son estudiados por matemáticos, al mismo tiempo que aparecen nuevos problemas dentro de las propias matemáticas. Por ejemplo, el físico Richard Feynman propuso la integral de caminos como fundamento de la mecánica cuántica, combinando el razonamiento matemático y el enfoque de la física, pero todavía, no se ha logrado una definición plenamente satisfactoria en términos matemáticos. Similarmente, la teoría de cuerdas, una teoría científica en desarrollo que trata de unificar las cuatro fuerzas fundamentales de la física, sigue inspirando a las más modernas matemáticas.

Algunas matemáticas solo son relevantes en el área en la que estaban inspiradas y son aplicadas para otros problemas en ese campo. Sin embargo, a menudo las matemáticas inspiradas en un área concreta resultan útiles en muchos ámbitos, y se incluyen dentro de los conceptos matemáticos generales aceptados. El notable hecho de que incluso la matemática más pura habitualmente tiene aplicaciones prácticas es lo que Eugene Wigner ha definido como «la irrazonable eficacia de las matemáticas en las Ciencias Naturales».

Como en la mayoría de las áreas de estudio, la explosión de los conocimientos en la era científica ha llevado a la especialización de las matemáticas. Hay una importante distinción entre las matemáticas puras y las matemáticas aplicadas. La mayoría de los matemáticos que se dedican a la investigación se centran únicamente en una de estas áreas y, a veces, la elección se realiza cuando comienzan su licenciatura. Varias áreas de las matemáticas aplicadas se han fusionado con otras áreas tradicionalmente fuera de las matemáticas y se han convertido en disciplinas independientes, como pueden ser la estadística, la investigación de operaciones o la informática.

Aquellos que sienten predilección por las matemáticas, consideran que prevalece un aspecto estético que define a la mayoría de las matemáticas. Muchos matemáticos hablan de la elegancia de la matemática, su intrínseca estética y su belleza interna. En general, uno de sus aspectos más valorados es la simplicidad. Hay belleza en una simple y contundente demostración, como la demostración de Euclides de la existencia de infinitos números primos, y en un elegante análisis numérico que acelera el cálculo, así como en la transformada rápida de Fourier. G. H. Hardy en A Mathematician's Apology (Apología de un matemático) expresó la convicción de que estas consideraciones estéticas son, en sí mismas, suficientes para justificar el estudio de las matemáticas puras. Los matemáticos con frecuencia se esfuerzan por encontrar demostraciones de los teoremas que son especialmente elegantes, el excéntrico matemático Paul Erdős se refiere a este hecho como la búsqueda de pruebas de "El Libro" en el que Dios ha escrito sus demostraciones favoritas. La popularidad de la matemática recreativa es otra señal que nos indica el placer que produce resolver las preguntas matemáticas.

Notación, lenguaje y rigor

Leonhard Euler. Probablemente el más prolífico matemático de todos los tiempos.

La mayor parte de la notación matemática que se utiliza hoy en día no se inventó hasta el siglo XVIII. Antes de eso, las matemáticas eran escritas con palabras, un minucioso proceso que limitaba el avance matemático. En el siglo XVIII, Euler, fue responsable de muchas de las notaciones empleadas en la actualidad. La notación moderna hace que las matemáticas sean mucho más fácil para los profesionales, pero para los principiantes resulta complicada. La notación reduce las matemáticas al máximo, hace que algunos símbolos contengan una gran cantidad de información. Al igual que la notación musical, la notación matemática moderna tiene una sintaxis estricta y codifica la información que sería difícil de escribir de otra manera.

El símbolo de infinitoen diferentes tipografías.

El lenguaje matemático también puede ser difícil para los principiantes. Palabras tales como o y solo tienen significados más precisos que en lenguaje cotidiano. Además, palabras como abierto y cuerpo tienen significados matemáticos muy concretos. La jerga matemática, o lenguaje matemático, incluye términos técnicos como homeomorfismo o integrabilidad. La razón que explica la necesidad de utilizar la notación y la jerga es que el lenguaje matemático requiere más precisión que el lenguaje cotidiano. Los matemáticos se refieren a esta precisión en el lenguaje y en la lógica como el «rigor».

El rigor es una condición indispensable que debe tener una demostración matemática. Los matemáticos quieren que sus teoremas a partir de los axiomas sigan un razonamiento sistemático. Esto sirve para evitar teoremas erróneos, basados en intuiciones falibles, que se han dado varias veces en la historia de esta ciencia. El nivel de rigor previsto en las matemáticas ha variado con el tiempo: los griegos buscaban argumentos detallados, pero en tiempos de Isaac Newton los métodos empleados eran menos rigurosos. Los problemas inherentes de las definiciones que Newton utilizaba dieron lugar a un resurgimiento de un análisis cuidadoso y a las demostraciones oficiales del siglo XIX. Ahora, los matemáticos continúan apoyándose entre ellos mediante demostraciones asistidas por ordenador.

Un axioma se interpreta tradicionalmente como una «verdad evidente», pero esta concepción es problemática. En el ámbito formal, un axioma no es más que una cadena de símbolos, que tiene un significado intrínseco solo en el contexto de todas las fórmulas derivadas de un sistema axiomático.

La matemática como ciencia

Carl Friedrich Gauss, apodado el "príncipe de los matemáticos", se refería a la matemática como "la reina de las ciencias".

Carl Friedrich Gauss se refería a la matemática como «la reina de las ciencias». Tanto en el latín original Scientiārum Regīna, así como en alemánKönigin der Wissenschaften, la palabra ciencia debe ser interpretada como (campo de) conocimiento. Si se considera que la ciencia es el estudio del mundo físico, entonces las matemáticas, o por lo menos las matemáticas puras, no son una ciencia.

Muchos filósofos creen que las matemáticas no son experimentalmente falsables, y, por tanto, no es una ciencia según la definición de Karl Popper. No obstante, en la década de 1930 una importante labor en la lógica matemática demuestra que las matemáticas no puede reducirse a la lógica, y Karl Popper llegó a la conclusión de que «la mayoría de las teorías matemáticas son, como las de física y biología, hipotético-deductivas. Por lo tanto, las matemáticas puras se han vuelto más cercanas a las ciencias naturales cuyas hipótesis son conjeturas, así ha sido hasta ahora».²⁸ Otros pensadores, en particular Imre Lakatos, han solicitado una versión de Falsacionismo para las propias matemáticas.

Una visión alternativa es que determinados campos científicos (como la física teórica) son matemáticas con axiomas que pretenden corresponder a la realidad. De hecho, el físico teórico, J. M. Ziman, propone que la ciencia es «conocimiento público» y, por tanto, incluye a las matemáticas. En cualquier caso, las matemáticas tienen mucho en común con muchos campos de las ciencias físicas, especialmente la exploración de las consecuencias lógicas de las hipótesis. La intuición y la experimentación también desempeñan un papel importante en la formulación de conjeturas en las matemáticas y las otras ciencias. Las matemáticas experimentales siguen ganando representación dentro de las matemáticas. El cálculo y simulación están jugando un papel cada vez mayor tanto en las ciencias como en las matemáticas, atenuando la objeción de que las matemáticas no se sirven del método científico. En 2002 Stephen Wolfram sostiene, en su libro Un nuevo tipo de ciencia, que la matemática computacional merece ser explorada empíricamente como un campo científico.

Las opiniones de los matemáticos sobre este asunto son muy variadas. Muchos matemáticos consideran que llamar a su campo ciencia es minimizar la importancia de su perfil estético, además supone negar su historia dentro de las siete artes liberales. Otros consideran que hacer caso omiso de su conexión con las ciencias supone ignorar la evidente conexión entre las matemáticas y sus aplicaciones en la ciencia y la ingeniería, que ha impulsado considerablemente el desarrollo de las matemáticas. Otro asunto de debate, que guarda cierta relación con el anterior, es si la matemática fue creada (como el arte) o descubierta (como la ciencia). Este es uno de los muchos temas de incumbencia de la filosofía de las matemáticas.

Los premios matemáticos se mantienen generalmente separados de sus equivalentes en la ciencia. El más prestigioso premio dentro de las matemáticas es la Medalla Fields,³⁰³¹ fue instaurado en 1936 y se concede cada cuatro años. A menudo se le considera el equivalente del Premio Nobel para la ciencia. Otros premios son el Premio Wolf en matemática, creado en 1978, que reconoce los logros en vida de los matemáticos, y el Premio Abel, otro gran premio internacional, que se introdujo en 2003. Estos dos últimos se conceden por un excelente trabajo, que puede ser una investigación innovadora o la solución de un problema pendiente en un campo determinado. Una famosa lista de esos 23 problemas sin resolver, denominada los «Problemas de Hilbert», fue recopilada en 1900 por el matemático alemán David Hilbert. Esta lista ha alcanzado gran popularidad entre los matemáticos y, al menos, nueve de los problemas ya han sido resueltos. Una nueva lista de siete problemas fundamentales, titulada «Problemas del milenio», se publicó en 2000. La solución de cada uno de los problemas será recompensada con 1 millón de dólares. Curiosamente, tan solo uno (la hipótesis de Riemann) aparece en ambas listas.

Matemáticas aplicadas

El término matemáticas aplicadas se refiere a aquellos métodos y herramientas matemáticas que pueden ser utilizados en el análisis o resolución de problemas pertenecientes al área de las ciencias básicas o aplicadas.

Muchos métodos matemáticos han resultado efectivos en el estudio de problemas en física, química, biología, medicina, ciencias sociales, ingeniería, economía, finanzas, ecología entre otras.

Sin embargo, una posible diferencia es que en matemáticas aplicadas se procura el desarrollo de las matemáticas "hacia afuera", es decir su aplicación o transferencia hacia el resto de las áreas. Y en menor grado "hacia dentro" o sea, hacia el desarrollo de las matemáticas mismas. Este último sería el caso de las matemáticas puras o matemáticas elementales.

Las matemáticas aplicadas se usan con frecuencia en distintas áreas tecnológicas para modelado, simulación y optimización de procesos o fenómenos, como el túnel de viento o el diseño de experimentos.

REFERENCIAS

Ninguna semejanza o descripción de la apariencia física de Euclides durante su vida sobrevivió a la antigüedad. Por lo tanto, la representación de Euclides en las obras de arte depende de la imaginación del artista (véase Euclides).

«matemática», Diccionario de la lengua española (avance de la vigésima tercera edición). Consultado el 20 de enero de 2013.

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